自动控制网—学习自动控制技术电气自动化技术从这里开始!
当前位置: 自动控制网 > 线性系统 >

李雅普诺夫稳定性分析

时间:2014-11-12 11:33来源:www.ninenine.net 编辑:自动控制网
1、李雅普诺夫意义下的稳定性 设系统方程为 的状态Xe称为平衡状态。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化,若已知状态方程,令 所求得的解x,便是平衡状态。 线性定常系统 ,其平衡状态满足 ,当A为非奇异矩阵时,系统只有惟一的零解,即只存在一个位于状
   1、李雅普诺夫意义下的稳定性
     设系统方程为



的状态Xe称为平衡状态。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化,若已知状态方程,令 所求得的解x,便是平衡状态。
线性定常系统 ,其平衡状态满足 ,当A为非奇异矩阵时,系统只有惟一的零解,即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若A为奇异矩阵,则系统存在有无穷多个平衡状态。对于非线性系统,可能有一个或多个平衡状态。

本文来自www.ninenine.net
该定义的平面几何表示如图所示。
实数δ与ε有关,通常也与t0有关。如果δ与t0无关,则称平衡状态是一致稳定的。


注意:按李雅普诺夫意义下的稳定性定义,当系统作不衰减的振荡运动时,将在平面描绘出一条封闭曲线,但只要不超出s(ε),则认为是稳定的,这与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。
     (3)渐近稳定性
     若系统的平衡状态Xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性,且有


     (4)大范围(全局)渐近稳定性
     当初始条件扩展至整个状态空间,且平衡状态均具有渐近稳定性时,称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时,δ->∞,s(δ)->∞。当t->∞时,由状态空间中任一点出发的轨迹都收敛至Xe。 本文来自www.ninenine.net
对于严格线性的系统,如果它是渐近稳定的,必定是大范围渐近稳定,这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无关。而对于非线性系统来说,其稳定性往往与初始条件大小密切相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。


    2、李雅普诺夫第一法(间接法)
    这是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法,它适用于线性定常、线性时变以及非线性函数可线性化的情况。在此仅介绍线性定常系统的特征值判据。
    定理9-9 对于线性定常系统 ,有
    1)系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是,A的所有特征值均具有非正(负或零)实部,且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。 自动控制网www。eadianqi。com版权所有
    2)系统的惟一平衡状态Xe=0是渐近稳定的充分必要条件是,A的所有特征值均具有负实部。由于所讨论的为线性定常系统,当其为稳定时必是一致稳定,当其为渐定稳定时必是大范围一致渐近稳定。



正半定性 如果标量函数V(x) 除了原点及某些状态处等于零外,在域S内的所有状态都是正定的,则称V(x)为正半定函数。
负半定性 如果-V(x)是正半定函数,则标量函数V(x)称为负半定函。
不定性 如果在域s内,不论域s多么小,V(x) 既可为正值也可为负值,则标量函数V(x)称为不定函数。


自动控制网www.ninenine.net版权所有
定理9-11(定常系统大范围渐近稳定判别定理1) 对于定常系统


定理9-12(定常系统大范围渐近稳定判别定理2) 对于定常系统,如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x),V(0=0) ,并且对状态空间X中的一切非零点x满足如下条件:




    
4、线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
    下面介绍李雅普诺夫第二法在线性定常系统稳定性分析中的应用。
自动控制网www.ninenine.net版权所有

    (1)线性定常连续系统渐近稳定的判别


    由于使用中常选取Q阵为单位阵或对角线阵,比起先选P阵再检验Q阵要方便得多,所以在判定系统的稳定性时常利用下述定理:
    定理9-14 线性定常系统 的原点平衡状态Xe=0为渐近稳定的充分必要条件是,对于任意给定的一个正定对称矩阵Q,有惟一的正定对称矩阵P使式 成立。
    上述定理的实质是给出了矩阵A的所有特征值均具有负实部的充分必要条件。

自动控制网www。eadianqi。com版权所有




例: 试用李雅普诺夫方程确定使下图所示系统渐近稳定的K值范围

解: 由图示状态变量可列写状态方程





本文已影响
欢乐生肖 一分时时彩 五分时时彩 99棋牌 湖南快乐十分官网 快乐赛车官网 河北快3开奖 极速3分彩 快乐赛车 欢乐生肖