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描述函数法

时间:2014-11-12 11:15来源:www.ninenine.net 编辑:自动控制网
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年首先提出的,其基本思想是:当系统满足一定的假设条件时,系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似,由此导出非线性环节的近似等效频率特性,即描述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线

    描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年首先提出的,其基本思想是:当系统满足一定的假设条件时,系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似,由此导出非线性环节的近似等效频率特性,即描述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统,并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
    描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性,不能给出时间响应的确切信息。

    1、描述函数的基本概念
    (1)描述函数的定义
    设非线性环节输入输出描述为 y=f(x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号x(t)=Asinωt时,可对非线性环节的稳态输出y(t)进行谐波分析。一般情况下,y(t)为非正弦的周期信号,因而可以展开成傅里叶
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一般情况下,描述函数是输入信号幅值A和频率ω的函数。当非线性环节中不包含储能元件时,其输出的一次谐波分量的幅值和相位差与ω无关,故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量,若非线性环节的正弦响应为关于t的奇对称函数,即
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    (2)非线性系统描述函数法分析的应用条件
    1)非线性系统应简化个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式,如图所示。
    2)非线性环节的输入输出特性应y(x)是X的奇函数,即f(x)=-f(-x),或正弦输入下的输出为 的奇对称函数, 即y(t+π/ω)=-y(t),以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量,即A0=0。
    3)系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能。线性部分的阶次越高,低通滤波性能越好;而欲具有低通滤波性能,线性部分的极点应位于复平面的左半平面。

    (3)描述函数的物理意义
    线性系统的频率特性反映正弦信号作用下,系统稳态输出中与输入同频率的分量的幅值和相位相对于输入信号的变化;而非线性环节的描述函数则反映非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化。因此忽略高次谐波分量,仅考虑基波分量,非线性环节的描述函数表现为复数增益的放大器。

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    注意:描述函数表现为关于输入正弦信号的幅值A的复变增益放大器,这正是非线性环节的的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。

    2、典型非线性特性的描述函数
    典型非线性特性具有分段线性特点,描述函数的计算重点在于确定正弦响应曲线和积分区间,一般采用图解方法。下面针对两种典型非线性特性,介绍计算过程和步骤。
    (1)死区饱和非线性环节
    将正弦输入信号X(t)、非线性特性y(x)和输出信号y(t) 的坐标按下张图所示方式和位置旋转,死区饱和特性及其正弦响应也在下张图所示。输出 y(t)的数学表达式为
3、非线性系统的简化
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    等效变换的原则是在r(t)=0条件下,根据非线性特性的串、并联,简化非线性部分为一个等效非线性环节,然后简化线性部分。
    (1)非线性特性的并联
由描述函数定义,并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。见下图。
    (2)非线性特性的串联
    若两个非线性环节串联,可采用图解法简化。以死区特性和死区饱和特性串联简化为例。
通常,先将两个非线性特性按下张图(a)、(b)形式放置,就可以确定等效非线性的参数。
应该指出,两个非线性环节的串联,等效特性还取决于其前后次序。调换次序则等效非线性特性亦不同。描述函数需按等效非线性环节的特性计算。多个非线性特性串联,可按上述两个非线性环节串联简化方法,依由前向后顺序逐一加以简化。 本文来自www.ninenine.net
    (3)线性部分的等效变换
    4、非线性系统稳定性分析的描述函数法
    (1)变增益线性系统的稳定性分析
    先研究图示线性系统的稳定性,其中K为比例环节增益。 设G(s)的极点均位于s 的左半平面,即P=0。
    (2)应用描述函数分析非线性系统的稳定性
    当非线性特性采用描述函数近似等效时,闭环系统的特征方程为 1+N(A)G)(jω)=0

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系统处于周期运动时,非线性环节的输入近似为等幅振荡 x(t)=Asinωt即每一个交点对应着一个周期运动。如果该周期运动能够维持,即考虑外界小扰动作用使系统偏离该周期运动,当该扰动消失后,系统的运动仍能恢复原周期运动,则称为稳定的周期运动。
    下张图给出了非线性系统存在周期运动的四种形式。图中曲线ΓG和-1/N(A)的交点为N0=-1/N(A0),负倒描述函数上的一点Ni对应的幅值为Ai。
在复平面上可将曲线ΓG包围的区域视为不稳定区域,曲线ΓG不包围的区域视为稳定区域,则有下述周期运动稳定性判据: 自动控制网www.ninenine.net版权所有
    曲线ΓG和曲线-1/N(A)的交点处,若-1/N(A)曲线沿着振幅A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时, 该交点对应的周期运动是稳定的。反之,若-1/N(A)曲线沿着振幅A增加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时,该交点对应的周期运动是不稳定的。
    例:设具有饱和非线性特性的控制系统如下所示,试分析:
    1)K=15时非线性系统的运动;
    2)欲使系统不出现自振荡,确定K的临界值。
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