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根轨迹法维持绘制的基本法则

时间:2014-11-11 13:37来源:未知 编辑:admin
本文讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。 在下面的讨论中,假定所研究的变化参数是根轨迹增值K*,当可变参数为系统的其它参数时,这些基本法则仍然适用。应当指出的是,用这些基本法则绘出的根轨迹,其相角遵循条件180+2k ,因此称为180根轨
    本文讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。
    在下面的讨论中,假定所研究的变化参数是根轨迹增值K*,当可变参数为系统的其它参数时,这些基本法则仍然适用。应当指出的是,用这些基本法则绘出的根轨迹,其相角遵循条件180°+2kπ ,因此称为180°根轨迹,相应的绘制法则也就可以叫做180°根轨迹的绘制法则。
    
    1 根轨迹绘制基本法则
    法则1
    根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。

    法则2
    根轨迹的分支数和对称性

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    根轨迹的分支数与开环极点数n相等(n>m),或与开环有限零点数m相等(n<m)。
    根轨迹连续:根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。
    实轴对称:特征方程的系数为实数,特征根必为实数或共轭复数。
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    法则3
    根轨迹渐近线
    当 n>m 时,则有(n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。 自动控制网www。eadianqi。com版权所有

    法则4
    实轴上的根轨迹:
    若实轴的某一个区域是一部分根轨迹,则必有:其右边(开环实数零点数+开环实数极点数)为奇数。这个结论可以用相角条件证明。任一点位于根轨迹上的充要条件,是相角条件成立。考虑到这些相角中的每一个相角都等于,减去 就相当于加上角。于是,点位于根轨迹上的等效条件是:

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    法则5
    根轨迹分离点
    两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点(会合点)。
    分离点的坐标 d 由下列方程所决定:
    注:(1)根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。
        (2)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点(包括无限零点)或开环极点(包括无限极点),则在此段根轨迹上必有分离点。 本文来自www.ninenine.net
        (3)分离点若在复平面上,则一定是成对出现的。

    法则6
    根轨迹的起始角和终止角
    起始角:根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角θpi
    终止角:根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角Ψzi 。

    法则7
    根轨迹与虚轴的交点
    交点对应的根轨迹增益K*和角频率ω可以用劳斯判据或令闭环特征方程中的s=jω,然后分别令其实部和虚部为零来确定。 自动控制网www.ninenine.net版权所有
    实际上若根轨迹与虚轴相交,则表示闭环系统存在纯虚根,这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。

    法则8
    根之和
    系统的闭环特征方程在n>m的一般情况下,可以有不同形式的表示
式中,s为闭环特征根。

    2、根轨迹法则应用举例
    例 设系统结构图与开环零、极点分布如图所示,试绘制其概略根轨迹。
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    解:由法则4,实轴上区域和是根轨迹,在图中以粗实线表示。
    由法则2,该系统有三条根轨迹分支,且对称于实轴。

    由法则1,一条根轨迹分支起于开环极点,终于开环有限零点,另外两条根轨迹分支起于开环极点和,终于无穷远处(无限零点)。
    由法则3,两条终于无穷的根轨迹的渐近线与实轴交角为90°和 270°,交点坐标为
    
    例、设单位反馈系统的开环传递函数为
    试绘制闭环系统根轨迹。
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    解:首先将G(s)写成零、极点标准形式
    例、设系统开环传递函数为
    试绘制该系统概略根轨迹。
    解:将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤

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    1)确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域[0,1.5]和[-2.5,-∞]为轨迹。
    2)确定根轨迹的渐近线。本例n=4,m=3,故只有一条180°的渐近线。
    3)确定分离点。本例无分离点。
    4)确定起始角与终止角。根轨迹在极点(-0.5+1.5)处的起始角为
    类似方法可算出根轨迹在复数零点(-2+j)处的终止角为149.5°,根轨迹图见下一张。各开环零、极点到(-2+j) 的向量相角也在下面图中显示。
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