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线性系统的稳定性和稳定判据

时间:2015-09-19 17:09来源:www.ninenine.net 编辑:自动控制网
稳定性是控制系统最重要的问题,也是对控制系统最基本的要求,因为一个控制系统不稳定,就不能正常工作。不稳定的控制系统,当受到内部或外界扰动,如负载或能源的波动、系统参数变化等,系统中各物理量偏离原平衡工作点,并随着时间的推移而发散,即使在干

   稳定性是控制系统最重要的问题,也是对控制系统最基本的要求,因为一个控制系统不稳定,就不能正常工作。不稳定的控制系统,当受到内部或外界扰动,如负载或能源的波动、系统参数变化等,系统中各物理量偏离原平衡工作点,并随着时间的推移而发散,即使在干扰消失后也不可能再恢复到原平衡状态。

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线性定常系统渐近稳定的充要条件 自动控制网www.ninenine.net版权所有

系统的闭环特征根全部分布S平面的左半部而具有负实部。可见控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,与外加输入信号无关。

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稳定性分析 

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判断线性定常系统稳定性的基本方法通常有以下几种: 自动控制网www.ninenine.net版权所有

 特征方程法——通过求解特征方程的所有根并判断其是否均具有负实部来决定系统稳定性,该方法也可称作直接法。方程阶次较高时难以应用。 自动控制网www.ninenine.net版权所有

 代数判据法——利用实系数方程根与系数的关系得到的根据特征方程的系数来判断特征根的实部符号,从而判定系统稳定性的方法。该方法也可称作间接法。常用代数判据有劳斯(Routh)判据和胡尔维茨(Hurwitz)判据等。本节重点介绍劳斯判据。

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 根轨迹法——通过绘制闭环极点随开环某参数变化的轨迹,从而判断闭环稳定性。该方法实为一种图解特征方程法。详见第四章。 自动控制网www.ninenine.net版权所有

 频率稳定判据法——根据开环频率特性如Nyquist图、Bode图或Nichols图判断闭环系统的稳定性。由于频率特性曲线易由实验获取,故该方法较实用,详见第五章。 自动控制网www.ninenine.net版权所有

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劳斯稳定判据法

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    设系统特征方程 自动控制网www.ninenine.net版权所有

               

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则可列出如下劳斯计算表 本文来自www.ninenine.net

                   

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表中有关系数计算方法如下: 自动控制网www.ninenine.net版权所有

                     

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劳斯判据:当且仅当劳斯计算表中第一列各元符号相同时,系统渐近稳定;否则系统不是渐近 本文来自www.ninenine.net

        稳定的,且第一列各元符号改变次数等于具有正实部特征根的个数。 自动控制网www.ninenine.net版权所有

劳斯稳定判据法的特殊应用

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 某行的一个元为零,而其它各元不全为零。解决方法有两种:用很小的正数代替的一个零元;或用(要求)乘原特征方程得新特征方程,再用劳斯判据,因新、原特征方程具有相同的稳定性。 本文来自www.ninenine.net

   设某系统的特征方程式为,试用Routh稳定判据判别系统的稳定性。 自动控制网www.ninenine.net版权所有

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解:建立Routh计算表 自动控制网www.ninenine.net版权所有

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   注意,在进行Routh计算表的第三行运算时,出现第一列元素为零而其它各列元素不为零的现象。这时,按Routh法则需要将零元素用趋近于的正数置换,在以后计算各元素的过程中,均以代替上述的零元素。因此,第四行第一列元素的符号应为负。从Routh计算表可见,第一列元素的符号变化了两次,这说明系统特征方程有两个具有正实部的根,从而系统是不稳定的。 本文来自www。eadianqi。com

   某行所有元均为零。解决办法:用全零元行的上一行构成的辅助方程的一阶导数对应系数代替全零元行的对应各元,继续计算劳斯表。辅助方程的阶数一般为偶数,而且它与特征根中含有的数值相同符号相异的根数相等。在这种情况下,系统通常具有临界稳定性.

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   设某系统的特征方程式为,试用Routh稳定判据判别系统的稳定性。 自动控制网www。eadianqi。com版权所有

解:建立Routh计算表 本文来自www.ninenine.net

                  

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    注意,在建立Routh计算表过程中,若出现某一行元素全部为零现象,则首先需利用该行的上一行的元素构造辅助方程式。行的元素全部为零,故需利用该行的上一行,即行中元素构造如下辅助方程式;其次将辅助方程是各项对变量求导,得到一个较辅助方程低一阶的新方程式。得;最后用新方程式的各项系数去代替全零行的元素,并继续进行Routh计算表的运算,直到行,有Routh计算表 本文来自www.ninenine.net

                 

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   从Routh计算表看出,第一列各元素的符号均相同而无变化,这说明系统特征方程是在平面右半部无根。但由于行的元素全部为零,说明系统特征方程式在虚轴上有共轭虚根。这类共轭虚根可由辅助方程式解出。对于本例,它们为。具有共轭虚根的系统,理论上认为其具有临界稳定性。

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