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非线性微分方程的线性化

时间:2015-08-25 18:56来源:www.ninenine.net 编辑:自动控制网
任何一个元件或系统都存在一定程度的非线性特性,处理非线性系统很困难。在小偏差范围工作时,绝大多数系统都可以看作是线性系统。使用近似的线性模型,便于分析和处理。 用线性模型近似实际的非线性模型的过程,称为线性化。 工作点:系统预定的平衡工作状态
    任何一个元件或系统都存在一定程度的非线性特性,处理非线性系统很困难。在小偏差范围工作时,绝大多数系统都可以看作是线性系统。使用近似的线性模型,便于分析和处理。
    用线性模型近似实际的非线性模型的过程,称为线性化。
    工作点:系统预定的平衡工作状态;平衡状态:系统的输入和输出变量不变化,即他们的各阶导数均为零。
    线性化方法:用变量在平衡点邻域的一阶泰勒展开式替换原变量。
    例:非线性函数 ,工作点
    
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    例 航向稳定的船舶运动方程。输出为航向角,输入是舵角,在舵角变化较大时(Norrbin模型)
    式中 ,是与船舶结构和水域情况有关的常数。 自动控制网www.ninenine.net版权所有
    工作点:;记

    

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    ,即
    这就是小舵角操纵时的船舶运动模型。
    关于小偏差线性化:
    (1) 必须有明确的平衡工作点,线性化模型只在该工作点邻域有效;
    (2) 线性化的精确度与工作范围和系统的非线性程度有关;
    (3) 在工作点不能坐泰勒展开的系统,不可能作线性化处理。
    系统的运动模态(model)
    系统输出的变化可看作是几种变化的叠加,即几种运动模态的总和,模态对应于系统输出信号的极点。在初始条件不为零,输入恒为零时,系统输出的变化是几种(自由)运动模态的总和,对应于系统的特征值或系统的极点。
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